🔢 Binomische Formeln – Erklärung, Beispiele und Übungen

Die binomischen Formeln gehören zu den wichtigsten Grundlagen der Algebra. Sie erleichtern das Ausmultiplizieren und Vereinfachen von Klammern und sind in Mathematik, Physik und Technik unverzichtbar. In diesem Artikel erklären wir alle drei binomischen Formeln ausführlich, geben zahlreiche Beispiele, Übungen und Tipps zum Lernen.

📜 Die drei binomischen Formeln

Die drei binomischen Formeln lauten:

• 1. (a + b)² = a² + 2 × a × b + b²
• 2. (a − b)² = a² − 2 × a × b + b²
• 3. (a + b) × (a − b) = a² − b²

Wichtig: Hier verwenden wir das **richtige Multiplikationszeichen „ד**, nicht ein kleines „x“.

🌟 Erklärung der ersten binomischen Formel

Die Formel (a + b)² = a² + 2 × a × b + b² bedeutet, dass man das Quadrat einer Summe auf zwei Terme a und b aufteilt:

• Schreibe die Summe zweimal: (a + b)² = (a + b) × (a + b)
• Multipliziere aus: a × a = a², a × b = a × b, b × a = a × b, b × b = b²
• Fasse gleiche Terme zusammen: a² + 2 × a × b + b²

Beispiel:

(3 + 4)² = 3² + 2 × 3 × 4 + 4² = 9 + 24 + 16 = 49

🌟 Erklärung der zweiten binomischen Formel

Die Formel (a − b)² = a² − 2 × a × b + b² funktioniert analog, nur mit Minus:

• (a − b)² = (a − b) × (a − b)
• Multiplizieren: a × a = a², a × (−b) = −a × b, (−b) × a = −a × b, (−b) × (−b) = b²
• Fasse gleiche Terme zusammen: a² − 2 × a × b + b²

Beispiel:

(5 − 2)² = 5² − 2 × 5 × 2 + 2² = 25 − 20 + 4 = 9

🌟 Erklärung der dritten binomischen Formel

Die dritte Formel (a + b) × (a − b) = a² − b² zeigt die Differenz der Quadrate:

• Multipliziere aus: a × a = a², a × (−b) = −a × b, b × a = a × b, b × (−b) = −b²
• Fasse gleiche Terme zusammen: a² − b²

Beispiel:

(7 + 3) × (7 − 3) = 7² − 3² = 49 − 9 = 40

📝 Praktische Anwendung

Die Formeln werden verwendet, um Klammern schnell zu erweitern, Terme zu vereinfachen und in Gleichungen zu rechnen. Sie helfen besonders bei:

• Algebraischen Umformungen
• Lösen von Gleichungen
• Flächenberechnungen (z. B. Quadrat einer Summe von Seiten)
• Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnungen

💡 Tipps zum Üben

• Regelmäßig einfache Zahlen einsetzen, um ein Gefühl für die Formeln zu bekommen
• Übungen aus Schulbüchern oder Online-Plattformen lösen
• Visuelle Hilfen nutzen, z. B. Rechtecke und Quadrate zum Veranschaulichen
• Nachhilfe bei schwierigen Themen nutzen, um Verständnis zu vertiefen

📚 Erweiterte Beispiele

Beispiel 1: (2 + 5)² = 2² + 2 × 2 × 5 + 5² = 4 + 20 + 25 = 49

Beispiel 2: (6 − 3)² = 6² − 2 × 6 × 3 + 3² = 36 − 36 + 9 = 9

Beispiel 3: (10 + 7) × (10 − 7) = 10² − 7² = 100 − 49 = 51

📌 Zusammenfassung

Die binomischen Formeln sind fundamentale Werkzeuge der Algebra. Sie helfen dabei, Aufgaben schneller zu lösen und mathematische Strukturen besser zu verstehen. Mit konsequentem Üben, Beispielen und Unterstützung durch die Lernhilfe Sprenger können Schüler:innen Formeln sicher anwenden und ihre Mathematikkenntnisse ausbauen.